Valószínűség-kalkulátor
Mindkettő: P(A ∩ B)
15,00%
Legalább az egyik: P(A ∪ B)
65,00%
A és B függetlennek tekintve: P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
| Esemény | Jelentés | Valószínűség |
|---|---|---|
P(A ∩ B) | mindkettő bekövetkezik | 15,00% |
P(A ∪ B) | legalább az egyik bekövetkezik | 65,00% |
P(A △ B) | pontosan az egyik következik be | 50,00% |
P(Ā ∩ B̄) | egyik sem következik be | 35,00% |
P(Ā) | A nem következik be | 50,00% |
P(B̄) | B nem következik be | 70,00% |
P(A | B) | A, feltéve, hogy B bekövetkezett | 50,00% |
P(B | A) | B, feltéve, hogy A bekövetkezett | 30,00% |
Ismételt próbálkozások (A esemény)
Legalább egyszer bekövetkezik
99,90%
Egyszer sem következik be
0,10%
- 50% eséllyel legalább egyszer: 1 kísérlet
- 95% eséllyel legalább egyszer: 5 kísérlet
- 99% eséllyel legalább egyszer: 7 kísérlet
P(A ∩ B) = 15,00%, P(A ∪ B) = 65,00%. Legalább egyszer bekövetkezik A 10 kísérletből: 99,90%.
P(A ∩ B) = 15,00%, P(A ∪ B) = 65,00%. Legalább egyszer bekövetkezik A 10 kísérletből: 99,90%.
Hogyan számolunk?
Két esemény, A és B esetén a legfontosabb összefüggések:
P(Ā) = 1 − P(A) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)
Ha A és B független (az egyik bekövetkezése nem befolyásolja a másikat), akkor P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Ha megadod P(A ∩ B)-t, ellenőrizzük, hogy lehetséges-e: max(0, P(A) + P(B) − 1) ≤ P(A ∩ B) ≤ min(P(A), P(B)).
Legalább egyszer n próbálkozásból: 1 − (1 − p)n. Például egy kockával 4 dobásból legalább egy hatos esélye 1 − (5/6)4 ≈ 51,77%. A szükséges próbálkozások száma a legkisebb n, amelyre ez eléri a célt: n = ⌈ln(1 − cél) / ln(1 − p)⌉. Kis valószínűségeknél is pontosan számolunk (log1p/expm1).
Mekkora az esélye, hogy két dolog egyszerre bekövetkezik? Hogy legalább az egyik megtörténik? És hányszor kell próbálkoznunk, hogy egy ritka esemény legalább egyszer összejöjjön? A valószínűség-kalkulátor két eseményre (A és B) kiszámolja a leggyakoribb kombinációkat, ha pedig megadod a közös valószínűségüket, a feltételes valószínűséget is. Az ismételt próbálkozásoknál azt is megmutatja, hány kísérlet kell 50, 95 vagy 99 százalékos „biztonsághoz”.
Hogyan használd?
- Add meg P(A)-t és P(B)-t 0 és 1 közötti törtként (pl. 0,25) vagy százalékként (pl. 25%).
- Ha a két esemény nem független, add meg a P(A ∩ B) értéket is (annak a valószínűségét, hogy mindkettő bekövetkezik). Üresen hagyva függetlennek tekintjük őket.
- Állítsd be, hányszor próbálkozunk egymástól függetlenül az A eseménnyel.
Az alapösszefüggések
- Komplementer: P(nem A) = 1 − P(A).
- Unió (legalább az egyik): P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
- Függetlenség: A és B független, ha P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
- Feltételes valószínűség: P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B) – annak az esélye, hogy A bekövetkezik, ha már tudjuk, hogy B bekövetkezett.
- Pontosan az egyik: P(A) + P(B) − 2 · P(A ∩ B).
A megadott P(A ∩ B) nem lehet akármekkora: legalább max(0; P(A) + P(B) − 1), legfeljebb min(P(A); P(B)). Ha ezen kívül esik, a kalkulátor jelzi, hogy ilyen helyzet nem létezhet.
Legalább egyszer n próbálkozásból
Ha egy p valószínűségű eseménnyel n-szer, egymástól függetlenül próbálkozunk, annak esélye, hogy egyszer sem jön be, (1 − p)n. A „legalább egyszer” ennek komplementere: 1 − (1 − p)n. Klasszikus példa: egy dobókockával négy dobásból legalább egy hatos esélye 1 − (5/6)4 ≈ 51,77% – éppen csak jobb, mint az érmefeldobás. Ezzel a feladattal kezdődött a valószínűség-számítás története a 17. században (de Méré lovag kérdése Pascalhoz).
A szükséges kísérletszám az a legkisebb n, amelyre 1 − (1 − p)n eléri a célt: n = ⌈ln(1 − cél) / ln(1 − p)⌉. Egy 1%-os esélyű eseményhez 50% eséllyel 69, 95% eséllyel már 299 próbálkozás kell.
Gyakori tévhitek
„Ha 1% az esély, 100 próbálkozásból biztosan sikerül.”
Nem: 100 próbálkozás után is kb. 36,6% az esélye, hogy egyszer sem sikerült (0,99100 ≈ 0,366). A biztos siker sosem garantált, csak egyre valószínűbb.
„Már ötször piros jött a ruletten, most fekete jön.”
Független események nem „emlékeznek” a múltra: a következő pörgetés esélyei ugyanazok, mint eddig. Ez a szerencsejátékos tévedése.
Mi a különbség P(A | B) és P(B | A) között?
Általában nem egyenlők. Ha egy betegség ritka, egy pozitív teszt után a betegség esélye (P(beteg | pozitív)) jóval kisebb lehet, mint a teszt érzékenysége (P(pozitív | beteg)). A két érték összekeverése gyakori és súlyos hiba.
