Születésnap-paradoxon kalkulátor
Van közös születésnap
50,73%
Mindenkié különböző
49,27%
Lehetséges párok
253 pár
Ennyi ember kell 50% eséllyel
23 fő
23 fős csoportban 50,73% az esélye, hogy legalább két embernek ugyanarra a napra esik a születésnapja (253 lehetséges pár).
Közelítés 1 − e^(−n(n − 1) / (2 · 365)): 50,00%
23 fős csoportban 50,73% az esélye, hogy legalább két embernek ugyanarra a napra esik a születésnapja (253 lehetséges pár).
Hogyan számolunk?
Feltesszük, hogy az év 365 napja egyformán valószínű születésnap (a február 29-et és a valós szezonális ingadozást elhanyagoljuk). Könnyebb a komplementer eseményt számolni: annak az esélyét, hogy n ember születésnapja mind különböző.
P(mind különböző) = (365/365) · (364/365) · … · ((365 − n + 1)/365) P(van közös) = 1 − P(mind különböző)
Már 23 fő esetén 50,73% az esély legalább egy közös születésnapra, 57 főnél 99%-nál is több, 366 főnél pedig biztos (skatulyaelv). A meglepetés oka, hogy nem egy adott napot, hanem bármely két ember egyezését nézzük: 23 főnél már 253 pár van.
Jó közelítés: P ≈ 1 − e−n(n − 1)/730. A „szükséges létszám” az a legkisebb n, amelynél a pontos valószínűség eléri a megadott célt.
Hány embernek kell egy szobában lennie ahhoz, hogy valószínűbb legyen, mint nem, hogy kettőjüknek ugyanarra a napra esik a születésnapja? A legtöbben 100 és 200 közötti számra tippelnek – a helyes válasz meglepően kicsi: 23. A születésnap-paradoxon kalkulátor bármekkora csoportra kiszámolja a pontos valószínűséget, és megmondja azt is, hány ember kell egy általad választott esélyhez.
Hogyan használd?
- Add meg a csoport létszámát (csúszkával 100-ig, a mezőben akár 100 000-ig).
- Add meg a célvalószínűséget százalékban (pl. 50 vagy 99), és leolvashatod, hány fő kell hozzá.
- A diagram a valószínűséget mutatja a létszám függvényében; a pont a megadott csoportméretet jelöli.
A számítás
Egyszerűbb az ellentétes eseményt kiszámolni: annak az esélyét, hogy mindenki más napon született. Az első ember bármelyik napon születhetett, a másodiknak 364/365 eséllyel más a születésnapja, a harmadiknak 363/365 eséllyel különbözik mindkettőjükétől, és így tovább:
P(mind különböző) = 365/365 · 364/365 · … · (365 − n + 1)/365, és P(van közös) = 1 − P(mind különböző).
A modell feltételezi, hogy az év mind a 365 napja egyformán valószínű, és nem számol a február 29-ével. A valóságban a születések nem teljesen egyenletesen oszlanak el, ez azonban a valószínűséget csak kissé növeli.
Néhány érték
- 10 fő: kb. 11,69%
- 23 fő: kb. 50,73%
- 30 fő: kb. 70,63%
- 41 fő: kb. 90,32%
- 57 fő: kb. 99,01%
- 70 fő: kb. 99,92%
- 366 fő: 100% (skatulyaelv – több ember van, mint nap)
Miért ennyire meglepő?
Ösztönösen arra gondolunk, mekkora az esélye, hogy valaki a mi születésnapunkon született – ez 23 főnél valóban csak kb. 5,9%. A kérdés azonban az, hogy bármely két ember egyezik-e, és a párok száma gyorsan nő: n ember között n(n − 1)/2 pár van, 23 főnél 253, 57 főnél már 1596. Jó közelítést ad a P ≈ 1 − e−n(n−1)/730 képlet is, amely jól mutatja ezt a négyzetes növekedést.
Hol számít ez a gyakorlatban?
A jelenség neve a kriptográfiában „születésnapi támadás”: egy N lehetséges értéket adó hash-függvénynél nagyjából √N próbálkozás után várható az első ütközés. Ugyanez magyarázza, miért fordul elő meglepően gyakran két azonos azonosító véletlenszerűen generált kódok között.
Gyakori kérdések
Akkor 183 ember kell ahhoz, hogy valaki az én születésnapomon szülessen?
Nem egészen: ahhoz, hogy 50% eséllyel legyen valaki, aki a te napodon született, kb. 253 másik ember kell, mert 1 − (364/365)n ≥ 0,5 az n ≥ 253 esetén teljesül. Ez a kérdés más, mint a születésnap-paradoxoné.
Miért nem lesz soha pontosan 100% 366 fő alatt?
Mert elméletileg mindig elképzelhető, hogy mindenki más napon született – csak egyre valószínűtlenebb. 70 főnél ennek esélye már 0,1% alatt van.