Valószínűség-kalkulátor

Mekkora az esélye, hogy két dolog egyszerre bekövetkezik? Hogy legalább az egyik megtörténik? És hányszor kell próbálkoznunk, hogy egy ritka esemény legalább egyszer összejöjjön? A valószínűség-kalkulátor két eseményre (A és B) kiszámolja a leggyakoribb kombinációkat, ha pedig megadod a közös valószínűségüket, a feltételes valószínűséget is. Az ismételt próbálkozásoknál azt is megmutatja, hány kísérlet kell 50, 95 vagy 99 százalékos „biztonsághoz”.

Hogyan használd?

1. Add meg P(A)-t és P(B)-t 0 és 1 közötti törtként (pl. 0,25) vagy százalékként (pl. 25%).
2. Ha a két esemény nem független, add meg a P(A ∩ B) értéket is (annak a valószínűségét, hogy mindkettő bekövetkezik). Üresen hagyva függetlennek tekintjük őket.
3. Állítsd be, hányszor próbálkozunk egymástól függetlenül az A eseménnyel.

Az alapösszefüggések

• Komplementer: P(nem A) = 1 − P(A).
• Unió (legalább az egyik): P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
• Függetlenség: A és B független, ha P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
• Feltételes valószínűség: P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B) – annak az esélye, hogy A bekövetkezik, ha már tudjuk, hogy B bekövetkezett.
• Pontosan az egyik: P(A) + P(B) − 2 · P(A ∩ B).

A megadott P(A ∩ B) nem lehet akármekkora: legalább max(0; P(A) + P(B) − 1), legfeljebb min(P(A); P(B)). Ha ezen kívül esik, a kalkulátor jelzi, hogy ilyen helyzet nem létezhet.

Legalább egyszer n próbálkozásból

Ha egy p valószínűségű eseménnyel n-szer, egymástól függetlenül próbálkozunk, annak esélye, hogy egyszer sem jön be, (1 − p)ⁿ. A „legalább egyszer” ennek komplementere: 1 − (1 − p)ⁿ. Klasszikus példa: egy dobókockával négy dobásból legalább egy hatos esélye 1 − (5/6)⁴ ≈ 51,77% – éppen csak jobb, mint az érmefeldobás. Ezzel a feladattal kezdődött a valószínűség-számítás története a 17. században (de Méré lovag kérdése Pascalhoz).

A szükséges kísérletszám az a legkisebb n, amelyre 1 − (1 − p)ⁿ eléri a célt: n = ⌈ln(1 − cél) / ln(1 − p)⌉. Egy 1%-os esélyű eseményhez 50% eséllyel 69, 95% eséllyel már 299 próbálkozás kell.

Gyakori tévhitek

„Ha 1% az esély, 100 próbálkozásból biztosan sikerül.”

Nem: 100 próbálkozás után is kb. 36,6% az esélye, hogy egyszer sem sikerült (0,99¹⁰⁰ ≈ 0,366). A biztos siker sosem garantált, csak egyre valószínűbb.

„Már ötször piros jött a ruletten, most fekete jön.”

Független események nem „emlékeznek” a múltra: a következő pörgetés esélyei ugyanazok, mint eddig. Ez a szerencsejátékos tévedése.

Mi a különbség P(A | B) és P(B | A) között?

Általában nem egyenlők. Ha egy betegség ritka, egy pozitív teszt után a betegség esélye (P(beteg | pozitív)) jóval kisebb lehet, mint a teszt érzékenysége (P(pozitív | beteg)). A két érték összekeverése gyakori és súlyos hiba.