Permutáció- és variációkalkulátor
V(10, 3) = 10! / 7!
Lehetőségek száma
720
Számjegyek
3 számjegy
Egy konkrét kimenetel esélye
1 a 720-ból
A teljes szám (minden számjegy)
10 elemből 3 elem sorba rendezésének lehetőségei (a sorrend számít, ismétlés nélkül): 720.
10 elemből 3 elem sorba rendezésének lehetőségei (a sorrend számít, ismétlés nélkül): 720.
Hogyan számolunk?
Permutáció: n különböző elem összes lehetséges sorrendje, P(n) = n!. Variáció: n elemből k elemet választunk ki, és a sorrend is számít (pl. dobogósok egy versenyen).
Ismétlés nélkül: V(n, k) = n! / (n − k)! Ismétléssel: V̄(n, k) = nk
Példák: 10 versenyzőből az első három hely 10 · 9 · 8 = 720-féleképpen alakulhat; egy 4 jegyű PIN-kód 104 = 10 000-féle lehet (ismétléses variáció); egy 52 lapos pakli 52! ≈ 8,07 · 1067-féleképpen keverhető.
Ha k nagyobb n-nél, ismétlés nélkül nincs megoldás (0). Az eredmény pontos egész szám; 60 jegy fölött normál alakban mutatjuk, a teljes szám lenyitható.
Hányféleképpen állhat sorba öt ember? Hányféle lehet a dobogó egy tízfős döntőben? Hány négyjegyű PIN-kód létezik? Ezek mind olyan kérdések, ahol a sorrend is számít. A permutációkalkulátor a teljes sorba rendezések (permutációk) és a részleges kiválasztások (variációk) számát is megadja, ismétléssel vagy anélkül, pontos egész számokkal.
Hogyan használd?
- Add meg az elemek számát (n).
- Add meg, hány elemet rendezünk sorba (k). Ha üresen hagyod, az összes elem sorrendjét számoljuk (k = n, azaz n!).
- Ha egy elem többször is szerepelhet (pl. számjegyek egy kódban), kapcsold be az „Ismétléssel” lehetőséget.
A képletek
Permutáció
n különböző elem összes sorrendje: P(n) = n! = n · (n − 1) · … · 2 · 1. Öt ember 5! = 120-féleképpen állhat sorba.
Ismétlés nélküli variáció
n elemből k-t választunk ki, és a sorrend számít: V(n, k) = n! / (n − k)! = n · (n − 1) · … · (n − k + 1). Egy tízfős döntőben az első három hely 10 · 9 · 8 = 720-féleképpen alakulhat.
Ismétléses variáció
Minden helyre bármelyik elem kerülhet, akár többször is: V̄(n, k) = nk. Négyjegyű PIN-kódból 104 = 10 000 létezik, egy 8 karakteres, kisbetűkből és számjegyekből álló jelszóból 368 = 2 821 109 907 456.
Meglepően nagy számok
- Egy 52 lapos kártyapakli 52! ≈ 8,07 · 1067-féleképpen keverhető – szinte biztos, hogy egy alaposan megkevert pakli sorrendje még soha nem fordult elő a történelemben.
- A Rubik-kocka 43 252 003 274 489 856 000 állapota is kombinatorikai számolás eredménye.
- Tíz könyv a polcon 10! = 3 628 800-féle sorrendben állhat.
Mivel a faktoriális ennyire gyorsan nő, a kalkulátor tetszőleges pontosságú egészekkel számol: ismétlés nélkül n = 3000-ig, ismétléssel n = 1 000 000 és k = 1000-ig minden számjegyet pontosan megkapsz. 60 jegynél hosszabb eredményt normál alakban mutatunk, a teljes szám lenyitható.
Gyakori kérdések
Mi a különbség permutáció és kombináció között?
Permutációnál (és variációnál) a sorrend számít: az A–B–C más, mint a C–B–A. Kombinációnál nem: az {A, B, C} csapat ugyanaz bármilyen sorrendben. Ezért V(n, k) = C(n, k) · k!.
Mennyi a 0!?
Megállapodás szerint 1: nulla elemet egyféleképpen lehet sorba rendezni. Ez teszi lehetővé, hogy a képletek k = n és k = 0 esetén is működjenek.
Mi történik, ha k nagyobb, mint n?
Ismétlés nélkül nem lehet több elemet sorba rendezni, mint ahány van, ezért az eredmény 0. Ismétléssel viszont bármekkora k megengedett.