Számrendszer-átváltó
10-es számrendszer → 2-es számrendszer
11111101010
11 számjegy
| Bináris (2) | 11111101010 |
|---|---|
| Oktális (8) | 3752 |
| Decimális (10) | 2026 |
| Hexadecimális (16) | 7EA |
Levezetés lépésről lépésre
1. Átváltás tízes számrendszerbe a helyiértékek összegeként:
2. Ismételt maradékos osztás a cél alapszámával:
| Osztandó | Hányados | Maradék |
|---|---|---|
| 2026 : 2 | 1013 | 0 |
| 1013 : 2 | 506 | 1 |
| 506 : 2 | 253 | 0 |
| 253 : 2 | 126 | 1 |
| 126 : 2 | 63 | 0 |
| 63 : 2 | 31 | 1 |
| 31 : 2 | 15 | 1 |
| 15 : 2 | 7 | 1 |
| 7 : 2 | 3 | 1 |
| 3 : 2 | 1 | 1 |
| 1 : 2 | 0 | 1 |
A maradékokat alulról felfelé olvasva: 11111101010
2026 (10-es számrendszer) = 11111101010 (2-es számrendszer).
2026 (10-es számrendszer) = 11111101010 (2-es számrendszer).
Hogyan számolunk?
Egy b alapú számrendszerben a számjegyek a b hatványait szorozzák: dk…d1d0 értéke dk·bk + … + d1·b + d0. A 10-nél nagyobb alapokban betűk jelölik a 9 feletti számjegyeket (A = 10 … Z = 35).
Tízesbe: Σ di · bi Tízesből: ismételt osztás a cél alappal, a maradékok fordított sorrendben
Példa: 2026 kettes számrendszerben: 2026 : 2 = 1013 maradék 0, 1013 : 2 = 506 maradék 1, … – a maradékokat alulról felfelé olvasva 11111101010. Visszafelé: 1·210 + 1·29 + … = 2026.
A számolás tetszőleges pontosságú egészekkel történik (a böngészőben BigInt), így akár több száz jegyű számok is pontosan átválthatók. A levezetést csak kisebb számoknál (legfeljebb 16 jegyű bemenet, illetve 1015 alatti érték) mutatjuk.
A számítógépek kettes számrendszerben „gondolkodnak”, a programozók gyakran tizenhatos (hexadecimális) alakban írják a számokat, a hétköznapokban pedig a tízes számrendszert használjuk. A számrendszer-átváltó bármely két alap között 2 és 36 között vált át – akár több száz jegyű számokat is, teljes pontossággal –, kisebb számoknál pedig lépésről lépésre meg is mutatja a levezetést.
Hogyan használd?
- Írd be az átváltandó egész számot. Szóközt és aláhúzásjelet is használhatsz tagolásra, negatív számot mínuszjellel adhatsz meg.
- Válaszd ki, melyik számrendszerből és melyikbe váltasz. A két nyíl gombbal megfordíthatod az irányt.
- Az eredmény mellett a kettes, nyolcas, tízes és tizenhatos alak is megjelenik, alatta pedig a levezetés.
Ha olyan számjegyet írsz be, amely a választott számrendszerben nem létezik (például 9-est nyolcas számrendszerben), a kalkulátor megmondja, mely jegyek használhatók.
Hogyan épülnek fel a számrendszerek?
Egy b alapú számrendszerben minden helyiérték b valamelyik hatványát jelenti. A 2026 tízes számrendszerben 2 · 103 + 0 · 102 + 2 · 10 + 6. Kettes számrendszerben csak a 0 és az 1 jegy létezik, tizenhatosban a 9 feletti értékeket betűk jelölik: A = 10, B = 11, …, F = 15. A legnagyobb támogatott alap a 36, ahol a teljes angol ábécé (Z = 35) számjegyként szerepel.
Az átváltás módszere
Tízes számrendszerbe
Minden jegyet megszorzunk a helyiértékéhez tartozó hatvánnyal, majd összeadjuk. Például a tizenhatos FF: 15 · 161 + 15 · 160 = 240 + 15 = 255.
Tízes számrendszerből
A számot ismételten elosztjuk a cél alapszámával, és feljegyezzük a maradékokat. A maradékokat alulról felfelé olvasva kapjuk az eredményt. Például 2026 kettesbe: 2026 : 2 = 1013, maradék 0; 1013 : 2 = 506, maradék 1; … végül 11111101010.
Két tetszőleges alap között a kalkulátor a két lépést kombinálja. A számolás tetszőleges pontosságú egészekkel történik, így nincs kerekítési hiba még egy 1000 jegyű szám esetén sem.
Hol találkozhatsz vele?
- Kettes (bináris): bitek, maszkok, digitális áramkörök.
- Nyolcas (oktális): Unix-jogosultságok, például a 755.
- Tizenhatos (hexadecimális): színkódok (#345BF4), memóriacímek, bájtok megjelenítése.
- 36-os: rövid azonosítók és URL-rövidítők, mert a számjegyek és betűk együtt kompakt írásmódot adnak.
Gyakori kérdések
Miért nem jelenik meg mindig a levezetés?
A helyiértékes felbontást legfeljebb 16 jegyű bemenetnél, az osztásos táblázatot 1015 alatti értéknél mutatjuk, mert nagyobb számoknál a táblázat követhetetlenül hosszú lenne. Az eredmény ettől függetlenül mindig pontos.
Lehet törteket is átváltani?
Ez az eszköz egész számokra készült. Törtrészek átváltásánál a legtöbb tört végtelen (szakaszos) jegysort adna más alapban, ezért azt külön kellene kezelni.
