Z-pontszám kalkulátor
z-pontszám
2
Érték (x)
130
Ez alatt (percentilis)
97,72%
E fölött
2,28%
±2 szórásnyi sávon kívül: 4,55%, belül: 95,45%
x = 130 (átlag 100, szórás 15) z-pontszáma 2: az eloszlás 97,72%-a esik alá, 2,28%-a fölé.
x = 130 (átlag 100, szórás 15) z-pontszáma 2: az eloszlás 97,72%-a esik alá, 2,28%-a fölé.
Hogyan számolunk?
A z-pontszám (standard pontszám) azt mutatja meg, hány szórásnyira van egy érték az átlagtól. Segítségével különböző skálájú mérések összehasonlíthatók.
z = (x − μ) / σ x = μ + z · σ
Ha a változó normális eloszlású, a z-hez tartozó percentilis Φ(z) · 100%; az átlag ±1, ±2, ±3 szórásnyi környezetébe az adatok kb. 68,27%, 95,45%, 99,73%-a esik. A kétoldali érték annak a valószínűsége, hogy egy megfigyelés legalább |z| szórásnyira esik az átlagtól bármelyik irányban (ezt használják pl. a statisztikai próbák p-értékénél).
A szórásnak pozitívnak kell lennie; 0 szórásnál minden érték azonos, így a z-pontszám nem értelmezhető.
A z-pontszám (standard pontszám) azt mondja meg, hány szórásnyira tér el egy érték az átlagtól. Ezzel összehasonlíthatóvá válnak a különböző skálán mért eredmények: egy matekdolgozat, egy testmagasság vagy egy reakcióidő. A kalkulátor mindkét irányban számol – értékből z-pontszámot, z-pontszámból értéket –, és megadja a hozzá tartozó percentilist is.
Hogyan használd?
- Válaszd ki az irányt: „Érték → z” vagy „z → érték”.
- Add meg az eloszlás átlagát (μ) és szórását (σ). A szórásnak pozitívnak kell lennie.
- Írd be az értéket (x) vagy a z-pontszámot; az eredmény azonnal frissül, a görbén pedig a kitöltött rész az érték alatti arányt mutatja.
A képletek
- Standardizálás: z = (x − μ) / σ
- Visszaszámolás: x = μ + z · σ
- Percentilis (normális eloszlásnál): Φ(z) · 100%
- Kétoldali valószínűség: 2 · Φ(−|z|) – annak esélye, hogy egy érték legalább |z| szórásnyira esik az átlagtól, bármelyik irányban.
Példák
IQ: x = 130, μ = 100, σ = 15 → z = 2; az eloszlás kb. 97,72%-a esik alá.
Testmagasság: ha egy csoportban az átlag 175 cm, a szórás 7 cm, akkor a 189 cm-es ember z-pontszáma (189 − 175) / 7 = 2 – ugyanolyan ritka a csoportban, mint az IQ 130.
Visszafelé: egy 50-es átlagú, 10-es szórású skálán z = −1,5 a 35 pontnak felel meg.
Mikor értelmes a percentilis?
A z-pontszám bármilyen eloszlásnál kiszámolható, a belőle számolt percentilis azonban csak akkor pontos, ha az adatok közel normális eloszlásúak. Erősen ferde eloszlásnál (például jövedelmek, várakozási idők) a z-pontszám továbbra is jelzi a távolságot az átlagtól, de a Φ(z)-ből számolt arány félrevezető lehet.
Gyakori kérdések
Mit jelent a negatív z-pontszám?
Azt, hogy az érték az átlag alatt van. A z = −1 egy szórással az átlag alatti értéket jelent, ez normális eloszlásnál kb. a 15,87. percentilis.
Hogyan kapcsolódik a z-pontszám a statisztikai próbákhoz?
A kétoldali valószínűség a z-próba p-értéke. Az 5%-os szignifikanciaszinthez |z| ≥ 1,96, az 1%-oshoz |z| ≥ 2,576 tartozik.
Miért nem lehet 0 a szórás?
0 szórásnál minden érték megegyezik az átlaggal, így nincs mivel osztani: a z-pontszám nem értelmezhető. A kalkulátor ezért csak pozitív szórást fogad el.
