Kombinációkalkulátor

C(49, 6) = 49! / (6! · 43!)

Lehetőségek száma

13 983 816

Számjegyek

8 számjegy

Egy konkrét kimenetel esélye

1 a 13 983 816-ból

49 elemből 6 elem kiválasztásának lehetőségei (a sorrend nem számít, ismétlés nélkül): 13 983 816.

Hogyan számolunk?

Kombináció: n különböző elemből k elemet választunk ki úgy, hogy a sorrend nem számít (pl. lottószelvény, csapat összeállítása).

Ismétlés nélkül: C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!) Ismétléssel: C̄(n, k) = C(n + k − 1, k)

Ismétléses kombinációnál egy elem többször is választható (pl. 3 gombóc fagyi 10 ízből, ahol két gombóc lehet ugyanolyan): ez 12! / (3! · 9!) = 220 lehetőség.

A számolás pontos egész aritmetikával történik (a böngészőben BigInt, a szerveren saját nagyegész-modul), a C(n, i) = C(n, i − 1) · (n − i + 1) / i lépésekkel – minden osztás maradék nélküli. Példák: ötöslottó C(90, 5) = 43 949 268, hatoslottó C(45, 6) = 8 145 060, póker C(52, 5) = 2 598 960.

Hányféleképpen tölthető ki egy lottószelvény? Hány különböző háromfős csapat állítható össze egy tízfős osztályból? Az ilyen kérdésekre a kombinációk száma ad választ: n elemből k elemet választunk ki, és a sorrend nem számít. A kalkulátor ismétlés nélkül és ismétléssel is számol, pontos egész számokkal – akár több ezer jegyű eredményre is.

Hogyan használd?

Add meg az elemek számát (n) és a kiválasztandó elemek számát (k); mindkettő nemnegatív egész, legfeljebb 10 000.
Ha egy elem többször is választható, kapcsold be az „Ismétléssel” lehetőséget.
Leolvashatod a lehetőségek számát, a számjegyek számát és azt, hogy egyetlen konkrét kiválasztás mekkora eséllyel jön ki véletlenszerűen.

A képletek

Ismétlés nélküli kombináció

C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!), amit „n alatt a k”-nak is mondunk. Ha k nagyobb n-nél, nincs ilyen kiválasztás, az eredmény 0.

Ismétléses kombináció

C̄(n, k) = C(n + k − 1, k). Itt egy elem többször is szerepelhet, és csak az számít, melyik elemből hányat választottunk. Példa: 10 fagyiízből 3 gombóc (lehet két egyforma is) 12! / (3! · 9!) = 220-féleképpen kérhető.

Hétköznapi példák

Ötöslottó: C(90, 5) = 43 949 268 – egyetlen szelvény telitalálatának esélye ennyiből egy.
Hatoslottó: C(45, 6) = 8 145 060.
Póker: egy 52 lapos pakliból C(52, 5) = 2 598 960-féle ötlapos kéz osztható.
Csapatválasztás: tíz emberből C(10, 3) = 120-féle háromfős csapat állítható össze.

Pontos számolás nagy számokkal

A faktoriálisok elképesztően gyorsan nőnek: a 100! már 158 jegyű. A kalkulátor ezért nem a faktoriálisokat számolja ki külön, hanem a C(n, i) = C(n, i − 1) · (n − i + 1) / i lépésekkel halad, ahol minden osztás maradék nélküli. Így a böngészőben (BigInt) és a szerveren (saját nagyegész-modul) is hibátlan egész számot kapunk; például a C(10 000; 5000) mind a 3009 jegyét. 60 jegynél hosszabb eredményt normál alakban mutatunk, a teljes szám lenyitható.

Kombináció vagy variáció?

A kérdés mindig az, számít-e a sorrend. Ha a kiválasztott elemek „egy kupacba” kerülnek (lottószámok, csapattagok), kombinációról beszélünk. Ha a sorrend is számít (dobogós helyezések, PIN-kód), akkor variációról vagy permutációról – erre a permutációkalkulátor való.

Gyakori kérdések

Miért ugyanannyi C(n, k) és C(n, n − k)?

Mert k elem kiválasztása ugyanaz, mint a maradék n − k elem „kihagyása”. Ezért C(90, 5) = C(90, 85).

Mennyi C(n, 0)?

Pontosan 1: a semmit egyféleképpen lehet kiválasztani (az üres halmazt).

Kombinációkalkulátor